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■はじめに

 カオスとは、比較的簡単な決定論に従う不規則かつ複雑で長期予測が不可能な現象です。カオスは1963年に気象学者Lorenzによって発見されました。 Lorenzは初歩的なコンピュータシミュレーションによる気象モデルが、入力する初期値の僅かな違いによって大きく発散することに気づき、気象の長期予測が不可能であることを明らかにしました。天気予報がなかなか当たらないのは、気象がカオスであるからです。
 自然現象においても流体系における乱流や地球を取り巻く大気をはじめ、化学反応系におけるベルーゾフ・ジャボチンスキー反応の協同現象など、様々なカオス的現象が発見されています。

■カオスの数理モデル

 決定論的なシステムでは、初期値を与えれば未来のシステムの状態を正確に計算できます。 例えば、運動方程式などは初期値を与えれば初期状態から任意の時刻進んだ時の物体の位置や速度が正確にわかります。
では、決定論的カオスではどうでしょうか?下図は簡単な式で表すことができる、決定論的システム(ロジスティック写像)で、初期0.3から計算を開始しています。

ロジスティック写像式
ロジスティック写像

図1 ロジスティック写像

 下図はロジスティック写像の時系列プロットです。このような複雑な振る舞いも、簡単な式によって決定されています。
 また、初期値0.3、0.30001で計算した場合の時系列を比較すると、ごくわずかな初期値の違いによって、時間が経過すると2つの時系列は全く異なった振る舞いを示すことがわかります。これがカオスであり、ごくわずかな差を時間とともに増幅し長期予測が不可能となります。

ロジスティック写像の時系列

図2 ロジスティック写像の時系列

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カオス・フラクタル情報数理工学研究室
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